Rođen je 1975. godine u Pančevu. Završio je srednju muzičku školu Kornelije Stanković u Beogradu, nakon čega je nastavio svoje školovanje na konzervatorijumu Žorž Bize u Parizu. Na Nacionalnom konzervatorijumu u Parizu, diplomirao je sa najvišim ocenama. Dve godine kasnije magistrirao je na pariskoj Ecole Normal (École normale supérieure), a 2008. god. magistrirao je i na Akademiji umetnosti u Novom Sadu. 

Klenkovski je Laureat brojnih takmičenja u zemlјi i inostranstvu, od kojih su najznačajnije prve nagrade na međunarodnom takmičenju Leopold Belan u Parizu, međunarodnom takmičenju u Pikardiji, Saveznom takmičenju u Ljublјani, kao i prva specijalna nagrada na Međunarodnom takmičenju u Parizu i treća nagrada na Međunarodnom takmičenju muzičke omladine u Beogradu. 

Nastupao je kao solista sa Kralјevskim orkestrom iz Brisela, Filharmonijom nacija iz Nemačke, Beogradskom filharmonijom, Orkestrom RTS-a, Simfonijskim orkestrom iz Niša, Beogradskim ansamblom Dušan Skovran, orkestrom Gudači svetog Đorđa, itd. Nastupao  je i u mnogim kamernim ansamblima u zemlјi i inostranstvu, pri čemu se izdvajaju gostovanja u Španiji, Rusiji, Kini, Nemačkoj, Francuskoj, Sloveniji, Austriji, Švajcarskoj, Italiji, Grčkoj, Slovačkoj, Češkoj, Americi i Indiji. 

Velјko Klenkovski je do 2002. godine nastupao kao prvi klarinetista orkestra Filharmonije nacija u Nemačkoj, kao i prvi klarinetista orkestra Opere Narodnog pozorišta u Beogradu, kamerne opere Madlenianum i orkestra RTS u Beogradu. Od 2002. godine je solo klarinetista Beogradske filharmonije. Takođe je, od 2015.godine solo klarinetista Narodnog pozorišta u Beogradu. Osnivač je i član Duvačkog kvinteta Beogradske filharmonije, kao i Beogradskog duvačkog tria. Nastupao je sa Sinfonijskim orkestrom Bruno Valter, Sinfonijskim orkestrom Harbin(Kina),  kao i Kiparskim nacionalnim orkestrom. 

Tokom dugogodišnjeg rada u orkestru sarađivao je sa mnogim eminentnim muzičarima, među kojima su Zubin Mehta, Kristijan Mandeal, Beri Daglas, Muhai Tang, Leopold Hager, Pol Angerer i drugi. Klenkovski se aktivno bavi i pedagoškim radom. Držao je majstorske kurseve u Francuskoj, Srbiji, Sloveniji, Crnoj Gori i Severnoj Makedoniji. Član je žirija međunarodnog takmičenja „Ohridski   biseri“ u Ohridu i „Saxclar“ u Skoplju (Severnoj Makedoniji), Davorin Jenko u Beogradu i u Požarevcu (Srbija). 

Dobitnik je Oktobarske nagrade Beograda i nagrade za pedagoški rad. Doktorirao je 2015.godine na Fakultetu muzičke umetnosti u Beogradu i dobitnik je nagrade Bruno Brun, kao student koji je završio doktorske studije sa najboljim uspehom. Od 2016.godine radi kao docent na Fakultetu muzičke umetnosti u Beogradu.

Veljko Klenkovski je Buffet Crampon artist i svira klarinete marke Legend.